Períodos

1.1Os ovais de Newton

Tomaremos como ponto de partida o lema XXVIII do primeiro livro dos Principia de Newton, que se enuncia assim na tradução francesa da marquesa du Châtelet [53]:

Quaisquer partes de toda figura oval, determinadas pelas coordenadas ou por outras retas traçadas arbitrariamente, jamais podem ser encontradas por nenhuma equação de um número finito de termos e dimensões.

Em outras palavras: se nos é dado um oval no plano, a área \(S(a, b, c)\) do segmento delimitado por uma reta de equação \(ax+by=c\) não é uma função algébrica dos parâmetros, no sentido de que não existe polinômio não nulo a coeficientes complexos em quatro variáveis \(P\) satisfazendo a igualdade \(P(a, b, c, S(a, b, c))=0\) para todos os valores \(a, b, c\).

Dizer o mesmo equivale a dizer que a área do setor cortado por duas semirretas quaisquer emanando de um ponto no interior do oval não é uma função algébrica dos dados: como mostra a figura 1, pode-se passar de uma à outra subtraindo um triângulo cuja área se exprime algebricamente em função dos parâmetros.

Por meio das leis de Kepler, segundo as quais os planetas traçam órbitas elípticas ao redor do sol varrendo áreas iguais em tempos iguais, Newton deduz que sua posição não pode ser determinada algebricamente em função do tempo:

Daí se vê que a área elíptica descrita ao redor do foco não pode ser expressa num tempo dado por uma equação finita […]

Seu lema de transcendência serve-lhe assim para justificar que a solução que ele traz ao problema de «encontrar, para um tempo dado, o lugar de um corpo que se move numa trajetória elíptica dada» não seja o que ele chama uma curva «geometricamente racional», isto é, algébrica na terminologia atual, mas «geometricamente irracional», isto é, transcendenteA saber, a cicloide. E «como a descrição dessa curva é difícil», ele inventa de lambuja o método de aproximação… de Newton!

Fixemos um ponto \(O\) no interior do oval e uma semirreta com origem nele. Trata-se de ver que a função \(S(\ell)\) que, a uma outra semirreta \(\ell\) partindo desse mesmo ponto, associa a área do setor que elas recortam sob o oval é transcendente: se exprimirmos tudo em termos do ângulo \(\theta\) que descreve o setor, as funções \(S(\theta)\) e \(\tan(\theta)\) não satisfazem nenhuma relação polinomial não trivial.

Eis a demonstração que Newton propõe. Façamos girar «perpetuamente com um movimento uniforme» a semirreta \(\ell\) e consideremos sobre ela «um ponto móvel que parte sempre do polo com uma velocidade que seja como o quadrado da parte dessa reta contida no oval». A primeira condição significa que o ângulo \(\theta(t)\) é proporcional ao tempo \(t\) (suporemos que são iguais, para simplificar) e a segunda se traduz na equação diferencial

onde \(R(\theta)\) designa a posição do ponto que se move e \(r(\theta)\) o comprimento da parte da reta contida no oval. «Esse ponto descreverá então uma espiral composta de uma infinidade de voltas». Por exemplo, se o oval é um círculo de centro \(O\), então a função \(r(\theta)\) é constante e a equação diferencial descreve uma espiral de Arquimedes \(R=r^2 \theta+\mathrm{cte}\). Ademais, como a área de um triângulo retângulo de hipotenusa \(r\) e de ângulo infinitesimal \(d\theta\) vale \(r^2d\theta/2\) em primeira ordem, a função \(S(\theta)\) satisfaz a equação diferencial

As funções \(R(\theta)\) e \(2S(\theta)\) diferem, portanto, por uma constante: se uma delas é algébrica, a outra também o é. Ora, a espiral não é uma curva algébrica, pois corta toda reta numa infinidade de pontos«Ora, se a porção de área oval, cortada por essa reta, pode ser encontrada por uma equação de um número finito de termos, ter-se-á também, pela mesma equação, o raio da espiral, que é proporcional a essa área. Assim, poder-se-ão encontrar por uma equação finita todos os pontos de uma espiral e, por conseguinte, poder-se-á encontrar também a interseção de uma reta qualquer, dada em posição, com uma espiral, por uma equação finita; mas toda reta prolongada infinitamente corta uma espiral numa infinidade de pontos, e toda equação que dá a interseção qualquer de duas linhas deve dar todas as suas interseções por igual número de raízes e deve, portanto, ter tantas dimensões quantas são as interseções.» A discussão que segue essa passagem em Newton dá a entender que ele conhecia uma forma fraca do teorema de Bézout, notadamente o enunciado de que duas curvas planas de graus \(m\) e \(n\) sem componente comum se intersectam em no máximo \(mn\) pontos (para uma reconstituição da prova que ele poderia ter dado, ver [8, nota (48), p. 116]).

Por mais convincente que esse raciocínio possa parecer à primeira vista, nele se encontram várias fontes de ambiguidade que, não passando despercebidas aos leitores contemporâneos, deram lugar a uma polêmica que só seria abafada trezentos anos após a publicação dos Principia [57]. O que Newton entende por «figura oval»? O que ele entende por «jamais»? Jakob Bernoulli aceita a demonstração de pronto e se inspira nela para seus trabalhos sobre a espiral logarítmica. Leibniz e Huygens não acreditam nela e se lançam num vai-e-vem de contraexemplos em sua correspondência. Eis o que Huygens escreve a Leibniz numa carta datada em Haia, 5 de maio de 1691:

Com efeito, se os quadrados têm direito de cidadania entre os ovais, a área do setor descrito por um ângulo \(\theta\) pode depender algebricamente de sua tangente (por exemplo, ela vale \(\tan(\theta)/2\) para o quadrado de lado \(2\) centrado na origem quando \(\theta\) está compreendido entre \(0\) e \(\pi/4\)), e o mesmo ocorre com o triângulo.

Esses potenciais contraexemplos vinham se somar a um outro, o oval delimitado pelas parábolas \(y=x^2-1\) e \(y=1-x^2\), que Huygens já havia mencionado numa carta de 26 de março. E cabe a Leibniz objetar, em sua resposta enviada no dia 20 de abril, de Hanôver:

Em compensação, Leibniz não vê obstáculo em incluir a lemniscata de equação \(y^2=x^2(1-x^2)\), de que Huygens lhe falara em cartas anteriores, entre os contraexemplos:

Com efeito, dado um ângulo \(\theta \in [0, \pi/4)\) e pondo \(t=\tan(\theta)\) para abreviar a notação, a reta \(y=tx\) intersecta a lemniscata no ponto de abcissa \(\sqrt{1-t^2}\), e a área do setor descrito por \(\theta\) é a soma da área de um triângulo retângulo de base \(\sqrt{1-t^2}\) e de altura \(t\sqrt{1-t^2}\) com a área sob a função \(y=x\sqrt{1-x^2}\) entre \(x=\sqrt{1-t^2}\) e \(x=1\), o que resulta na expressão algébrica

Deve mesmo haver um erro no raciocínio do mestre! Leibniz escreve « error » ao lado do lema em seu exemplar dos PrincipiaO exemplar anotado pela mão de Leibniz faz parte das coleções da Fundação Martin Bodmer e foi digitalizado: bodmerlab.unige.ch.
Agradeço a Morgane Cariou, Rosa Navarro Durán e José Antonio Pascual por sua ajuda em decifrar as marginalia de Leibniz., o que não o impedirá de fazer um elogio extraordinário a Newton em 2 de março de 1691, quando o compara implicitamente a Homero citando a Arte poética de Horácio:

Terá Newton cedido ao sono em sua longa obra? De fato, seus argumentos se aplicam igualmente ao quadrado, ao triângulo e à lemniscata; qualquer que seja a definição de um oval, eles mostram que a área dos setores recortados não pode ser dada por uma função global dos parâmetros, pela simples razão de que uma função algébrica não constante nunca é periódica. Isso estava sem dúvida claro para Leibniz, que ele mesmo havia deduzido, um pouco antes — e foi nessa ocasião que ele introduziu o termo —, que as funções trigonométricas são transcendentes. No caso do quadrado, a expressão algébrica que encontramos só descreve a área para ângulos compreendidos entre \(0\) e \(\pi/4\); quando se ultrapassa o primeiro vértice, é preciso substituí-la por uma outra. A verdadeira questão que se coloca é, portanto, a da algebricidade local: dado um ângulo \(\theta_0\), existe um intervalo aberto ao redor de \(\theta_0\) sobre o qual a área \(S(\theta)\) é uma função algébrica da tangente de \(\theta\)? É a possibilidade de a função mudar com o ângulo que dá todo o seu sabor ao lema de Newton…

Partindo do princípio de que o sentido da palavra oval é o corrente à época, a saber, uma curva plana, fechada, conexa e convexa contida no lugar dos zeros de um polinômio real em duas variáveis, a resposta depende então da regularidade dos ovais. Se impusermos como única restrição que eles possam ser traçados de forma contínua, pode-se sem dificuldade construir exemplos em que a área é uma função localmente (mas não globalmente) algébrica dos parâmetros, como vimos. Diremos que uma curva plana é de classe \(\mathcal{C}^\infty\) se, num pequeno disco ao redor de cada um de seus pontos, ela é definida pelo gráfico de uma função infinitamente derivável. Nenhum dos contraexemplos propostos por Huygens e Leibniz é um oval de classe \(\mathcal{C}^\infty\), pois todos possuem pontos singulares em que a derivada não existe.

Como explica Arnold [8], essa afirmação, bem mais forte, resulta da não algebricidade global pelo uso do fato de que um oval de classe \(\mathcal{C}^\infty\) é analítico, isto é, é definido ao redor de cada ponto por uma função desenvolvível em série de potênciasA hipótese de que os ovais estão contidos no lugar dos zeros de um polinômio real em duas variáveis exclui os exemplos clássicos de funções de classe \(\mathcal{C}^\infty\) que não são desenvolvíveis em série de potências. A analiticidade é então consequência de um outro teorema de Newton: a existência dos desenvolvimentos em série de Puiseux \(y=a_1x^{1/n}+a_2 x^{2/n}+\cdots\) para os ramos das curvas algébricas.. Com efeito, suponhamos por absurdo que a área é uma função localmente, mas não globalmente, algébrica dos parâmetros; existe então um ponto sobre o oval tal que duas expressões algébricas distintas são necessárias para descrever a área de um lado e de outro desse ponto. Ora, a analiticidade do oval implica que a área é uma função analítica dos parâmetros; desenvolvendo em série de potências, vê-se que as duas expressões coincidem num pequeno aberto e são, portanto, iguais em toda parte. A área seria assim uma função globalmente algébrica — contradição.

Voltemos agora ao sentido da palavra « jamais », apoiando-nos num outro trecho da carta de Leibniz escrita em Hanôver entre os dias 10 e 20 de abril de 1691:

As funções trigonométricas são transcendentes enquanto funções, mas e quanto a seus valores, por exemplo o número \(\pi\)? Pode-se demonstrar que a área de uma parte dada de uma figura oval é um número transcendente, isto é, que ela não é raiz de um polinômio não nulo a coeficientes racionais? Trata-se aí de dois exemplos de períodos, um termo que aos poucos se afastou de seu sentido histórico inicial de « período de uma função periódica » (as funções trigonométricas, as funções elípticas, etc.) para abarcar todos os números que aparecem como integrais de funções algébricas sobre domínios definidos por desigualdades polinomiais; qualquer primeiro curso de análise está cheio deles. Num certo sentido, são os números acessíveis por métodos geométricos. Libertos de seu vínculo com a física (áreas varridas por planetas, períodos de um pêndulo, etc.) e das funções das quais são valores especiais ou períodos, eles se tornaram um objeto de estudo por direito próprio, tendo como horizonte inacessível a questão de descrever todas as relações algébricas entre eles. Bem mais difícil do que o problema análogo para as funçõesComo testemunha, por exemplo, o fato de ter sido preciso esperar até 1882 para que a questão de Leibniz sobre a transcendência de \(\pi\) encontrasse resposta em Lindemann. As funções hipergeométricas constituem um belo exemplo dessa dicotomia entre a transcendência de uma função e a de seus valores especiais. Sejam \(a, b, c\) números racionais que não são inteiros negativos nem nulos. A função hipergeométrica de parâmetros \(a, b, c\) é definida pela série de potências \[ {}_{2}F_1\left(\begin{smallmatrix} a & b \\ c \end{smallmatrix} \,\middle|\, z \right)=1+\frac{ab}{c}\,z+\frac{a(a+1)b(b+1)}{c(c+1)}\,\frac{z^2}{2!}+\cdots \] que converge absolutamente no círculo unitário \(|z|<1\). Essas funções podem ser algébricas, como mostra o exemplo \[ {}_{2}F_1\left(\begin{smallmatrix} a & 1 \\ 1 \end{smallmatrix} \,\middle|\, z \right)=1+az+\frac{a(a+1)}{2!}\,z^2+\cdots=(1-z)^{-a} \] qualquer que seja o inteiro \(a\); mas, à parte uma lista de casos excepcionais, elas são em geral transcendentes. Não obstante, essas funções transcendentes às vezes assumem valores algébricos em números algébricos; é o caso dos valores \[ {}_{2}F_1\left(\begin{smallmatrix} \frac{1}{12} & \frac{5}{12} \\ \frac{1}{2} \end{smallmatrix} \,\middle|\, \frac{1323}{1331} \right)=\frac{3}{4}\sqrt[4]{11}, \quad {}_{2}F_1\left(\begin{smallmatrix} \frac{1}{12} & \frac{7}{12} \\ \frac{2}{3} \end{smallmatrix} \,\middle|\, \frac{6400}{64009} \right)=\frac{2}{3}\sqrt[6]{253} \tag{1.1} \] encontrados por Beukers e Wolfart [18]. Os valores das funções hipergeométricas em números algébricos estão ligados aos períodos por meio da representação integral de Euler \[ {}_{2}F_1\left(\begin{smallmatrix} a & b \\ c \end{smallmatrix} \,\middle|\, z \right)=\dfrac{\displaystyle\int_0^1 t^{a-1} (1-t)^{c-a-1}(1-tz)^{-b}\, dt}{\displaystyle\int_0^1 t^{a-1} (1-t)^{c-a-1}\, dt} \quad (c>a>0), \] que mostra que eles são quocientes de integrais, ao longo de um caminho, de formas diferenciais sobre uma curva algébrica. Identidades tais como (1.1) fornecem, portanto, uma relação não trivial entre períodos., esse problema admite, não obstante, uma solução conjectural surpreendentemente simples. Lendo entre as linhas, é tentador imaginar Leibniz conjecturando que os períodos tendem a ser transcendentes e que não há, em geral, outras relações algébricas entre eles além daquelas que se explicam pelas propriedades formais da integração. O objetivo destas notas é explicar duas maneiras de tornar rigorosa essa intuição — a conjectura de Kontsevich–Zagier e a conjectura dos períodos de Grothendieck — e como, supondo-as verdadeiras, é possível estender aos períodos a teoria de Galois para os números algébricos.

1.2O período de um pêndulo

Consideremos um pêndulo de comprimento \(\ell\) e de massa \(m\) que oscila sem atrito no plano vertical, sua posição sendo marcada pelo ângulo \(\theta\).

Seu movimento é descrito pela segunda lei de Newton \(F=ma\), que relaciona a força \(F\) e a aceleração tangencial \(a\), o que dá neste caso \(a=-g \sin \theta\), onde \(g\) designa a aceleração da gravidade no local da experiência. Exprimindo a aceleração como a derivada segunda do comprimento de arco \(\ell \theta\), obtém-se daí a equação diferencial de segunda ordem

que não admite solução em termos de funções elementares. Se nos interessamos apenas pelas oscilações de pequena amplitude, isto é, pelas soluções cujo valor inicial \(\theta_0\) em \(t=0\) é pequeno em módulo, podemos substituir \(\sin \theta\) por seu desenvolvimento limitado \(\theta\) em primeira ordem; a equação resultante tem então por solução \(\theta=\theta_0\cos(\sqrt{g/\ell}\, t)\), donde o valor aproximado \(T=2\pi \sqrt{\ell/g}\) para o período do pêndulo.

Para calcular o valor exato de \(T\), uma possibilidade consiste em multiplicar (1.2) por \(d\theta/dt\) e depois integrar por partes. Encontra-se a equação

que, por inversão, permite exprimir o período do pêndulo como

onde se utilizou a identidade trigonométrica \(\cos \theta=1-2\sin^2(\theta/2)\). Introduzindo o módulo elíptico \(k=\sin(\theta_0/2)\), chega-se à integral elíptica de primeira espécie

pelas mudanças de variável \(\sin(\theta/2)=k\sin \phi\) e \(x=\sin \phi\). Se \(k\) é um número algébrico, trata-se de um exemplo paradigmático de período no sentido da teoria dos números.

Quando a amplitude faz diferença

Dois modelos partem do mesmo ângulo, em repouso. Compare a equação não linear com a aproximação de pequenas oscilações.

Período não linear

—

Período de pequenos ângulos

—

Aumento em relação à aproximação

—

Módulo k = sen(θ₀/2)

—

Altere a amplitude e inicie a comparação.

Guia de leitura

Estas notas retomam as duas palestras que apresentei nas Journées X-UPS Períodos e transcendência nos dias 15 e 16 de abril de 2019. Não resisti à tentação de ir muito além do meu roteiro e de escrever o texto que, retrospectivamente, eu gostaria de ter tido à disposição quando me iniciei no domínio, há dez anos. Em função dos conhecimentos prévios e da energia que se está disposto a investir, ele admite vários níveis de leitura:

1. As seções 2 e 3, que exigem menos pré-requisitos, introduzem a noção de período e a conjectura de Kontsevich–Zagier; a ênfase recai sobretudo sobre os exemplos. Perto do fim, enuncio alguns teoremas recentes na direção dessa conjectura e esboço os contornos que poderia tomar uma teoria de Galois para os períodos.
2. Aqueles que desejarem aprofundar esse último ponto de vista são então convidados a prosseguir a leitura pela seção 4, ao menos até o exemplo 4.6, pelos três primeiros itens da seção 5 e pelo início da seção 6, até o exemplo 6.3. O material aqui exige certa familiaridade com espaços topológicos e anéis. Num primeiro momento, da introdução às variedades algébricas poder-se-á reter apenas o anel das funções e a definição de lisura.
3. Há então duas possibilidades para prosseguir a leitura: ou abordar as variantes da interpretação cohomológica dos períodos apresentadas na seção 7, ao menos até o exemplo 7.3, e na seção 8; ou concentrar-se nos períodos das curvas elípticas, estudando o restante das seções 4 e 5 e depois os dois últimos itens da seção 6 (quem desejar alongar ainda mais o caminho poderá em seguida ler as seções 9 e 10.5). Em ambos os casos, pressupõe-se um pouco de familiaridade com esses objetos básicos da álgebra homológica (complexos, sequências exatas, etc.); nesse sentido, as passagens mais exigentes são o exemplo 7.4 e as últimas páginas da seção 5. Para compreender as construções que envolvem variedades projetivas, é também útil ter em mente a noção de carta de uma variedade diferenciável.
4. A seção 10, por fim, é de natureza mais avançada. Escrevi-a imaginando o que eu responderia à pergunta « no que você trabalha? » a estudantes de segundo ano de mestrado em teoria dos números e geometria algébrica, ou a colegas de assuntos mais distantes, se tivessem uma hora para me conceder e não tivessem medo de não compreender tudo.

Agradecimentos

Agradeço aos organizadores e aos participantes desses encontros por terem me permitido lançar um olhar novo sobre minha pesquisa. Minha visão dos períodos foi enriquecida pelas conversas que tive a sorte de manter, ao longo dos anos, com Yves André, Joseph Ayoub, Jean-Benoît Bost, Francis Brown, José Ignacio Burgos Gil, Clément Dupont e Peter Jossen; que todos sejam aqui agradecidos! Foi Yves André, em particular, quem primeiro me falou do lema de Newton, Peter Jossen quem me ensinou a prova do teorema 10.13, e foi com Clément Dupont que discuti amiúde o dilogaritmo. Obrigado, por fim, a Olivier Benoist, Clément Dupont, Tiago Jardim da Fonseca e Marco Maculan por seus comentários sobre versões preliminares deste texto, e a Peter Jossen, Marco Maculan e Claude Sabbah por sua ajuda na preparação das figuras que o ilustram.

Referências citadas neste capítulo

1. [8] V. I. Arnold — Huygens and Barrow, Newton and Hooke, Birkhäuser Verlag, Basel, 1990.
2. [18] F. Beukers e J. Wolfart — « Algebraic values of hypergeometric functions », em New advances in transcendence theory (Durham, 1986), Cambridge Univ. Press, 1988, pp. 68–81.
3. [53] I. Newton — Principes mathématiques de la philosophie naturelle, tradução francesa de Émilie du Châtelet, Centre international d'étude du XVIII^e siècle, 2015.
4. [57] B. Pourciau — « The integrability of ovals: Newton's Lemma 28 and its counterexamples », Arch. Hist. Exact Sci. 55 (2001), n. 5, pp. 479–499.